Đại số là nhánh của toán học được định hướng để khái quát hóa các phép toán số học thông qua các dấu hiệu, chữ cái và số . Trong đại số, các chữ cái và dấu hiệu đại diện cho một thực thể khác thông qua biểu tượng.

Mặt khác, tuyến tính là một tính từ dùng để chỉ những gì được liên kết với một dòng (một dòng hoặc một chuỗi). Trong lĩnh vực toán học, ý tưởng về tuyến tính đề cập đến những gì có hậu quả tỷ lệ thuận với một nguyên nhân.

Nó được gọi là đại số tuyến tính để chuyên môn hóa đại số hoạt động với ma trận, vectơ, không gian vectơ và phương trình loại tuyến tính . Đây là một lĩnh vực kiến ​​thức được phát triển đặc biệt vào những năm 1840 với sự đóng góp của Hermann Grassmann (1809-1877) và Ailen William Rowan Hamilton (1805-1865), trong số các nhà toán học khác.

Không gian vectơ là các cấu trúc phát sinh khi một tập hợp không trống được đăng ký, một hoạt động bên ngoài và một hoạt động nội bộ. Các vectơ là các phần tử là một phần của không gian vectơ. Về các ma trận, nó là một bộ số hai chiều cho phép biểu diễn các hệ số mà các hệ phương trình tuyến tính có.

William Rowan Hamilton là một trong những cái tên nổi bật nhất trong lĩnh vực toán học, vì chính ông là người đặt ra thuật ngữ "vectơ", ngoài việc tạo ra các tứ phân vị. Khái niệm này mở rộng từ các số thực, vì nó xảy ra với các số phức và chúng là nhóm bốn số rất hữu ích khi nghiên cứu các đại lượng theo ba chiều hy vọng có độ lớn và địa chỉ.

Các số tạo nên bậc bốn phải thỏa mãn các quy tắc cộng, nhân và đẳng thức nhất định . Khám phá này có tầm quan trọng đáng kể đối với toán học. Đối với tập hợp các số thực, nó được định nghĩa là một số trong đó các số hữu tỷ được tìm thấy (không, dương và âm) và không hợp lý (những số không thể biểu thị).

Theo định nghĩa của các phần tử được xử lý bằng đại số tuyến tính, điều quan trọng cần biết là một hệ phương trình tuyến tính được cấu tạo, như tên gọi của nó, của phương trình tuyến tính (một bộ phương trình bậc nhất), được định nghĩa trên một vòng giao hoán hoặc một cơ thể .

Các không gian vectơ, trọng tâm nghiên cứu của đại số tuyến tính, có hai bộ: một trong các vectơ và một của vô hướng. Các vô hướng là các phần tử của các cơ quan toán học được sử dụng để thực hiện mô tả một hiện tượng với cường độ, mặc dù không có hướng; nó có thể là một số thực, phức tạp hoặc không đổi.

Trong các phép biến đổi tuyến tính, vectơ không phải luôn luôn là các chuỗi vô hướng; cũng có thể chúng là các thành phần của bất kỳ tập hợp nào. Nhiều đến mức một không gian vectơ có thể phát sinh từ bất kỳ tập hợp nào trên một trường cố định.

Một điểm đáng chú ý khác của đại số tuyến tính là nhóm các thuộc tính xuất hiện khi các cấu trúc bổ sung được đặt trên đỉnh của không gian vectơ; một ví dụ rất thường xuyên xảy ra khi một sản phẩm nội bộ được trình bày, nghĩa là một loại sản phẩm giữa một cặp vectơ, dẫn đến việc đưa ra các khái niệm như góc được tạo bởi hai vectơ hoặc độ dài của chúng .

Thật đúng khi nói rằng đại số tuyến tính là một lĩnh vực hoạt động kết nối với nhiều người khác, một số trong đó không thuộc về toán học, như phương trình vi phân, phân tích chức năng, kỹ thuật, nghiên cứu hoạt động và đồ họa máy tính. . Ngoài ra, các lĩnh vực toán học như lý thuyết mô-đun hoặc đại số đa tuyến đã được phát triển từ đại số tuyến tính.